| Código |
14805
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| Ano |
3
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| Semestre |
S2
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| Créditos ECTS |
6
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| Carga Horária |
TP(60H)
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| Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
(i) Apreender os rudimentos da teoria de sistemas dinâmicos unidimensionais e bidimensionais tanto em dinâmica a tempo contínuo como a tempo discreto;
(ii) Recorrer a ferramentas da teoria de sistemas dinâmicos unidimensionais e bidimensionais para analisar um determinado sistema dinâmico;
(iii) Reconhecer alguns exemplos famosos de sistemas dinâmicos unidimensionais e bidimensionais;
(iv) Analisar e compreender demonstrações matemáticas, em particular no contexto de sistemas dinâmicos;
(v) Aplicar a teoria dos sistemas dinâmicos em diversos modelos matemáticos;
(vi) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática.
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Conteúdos programáticos |
1. Dinâmica unidimensional discreta
1.1 Pontos periódicos atratores e repulsores
1.2 Família quadrática e dinâmica simbólica unilateral
1.3 Conjugação topológica e estabilidade estrutural
1.4 Homeomorfismos do círculo
1.5 Difeomorfismos de Morse-Smale
1.6 Teorema ergódico de Von Neumann
2. Dinâmica bidimensional contínua
2.1 Fluxos lineares. Fluxos em S2 e em T2
2.3 Estabilidade à Lyapunov
2.4 Teorema de Poincaré-Bendixson
2.5 Sistemas de Lotka-Volterra
2.6 Campos de vetores gradientes
2.7 Hiperbolicidade e estabilidade à Andronov-Pontryagin
2.8 Teorema de Hartman-Grobman (enunciado)
2.9 Teorema da variedade estável (enunciado)
2.10 Teorema de recorrência de Poincaré
2.11 Teorema ergódico de Birkhoff
3. Dinâmica bidimensional discreta
3.1 Hiperbolicidade e estabilidade à Andronov-Pontryagin
3.2 Teorema de Hartman-Grobman (enunciado)
3.3 Teorema da variedade estável (enunciado)
3.4 Dinâmica simbólica bilateral
3.5 Ferradura de Smale
3.6 Automorfismos de Anosov
3.7 Atrator solenóide
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
As aulas serão teórico-práticas. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles, apresenta exemplos e discute aplicações. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios. Na interação com o professor será promovido o aperfeiçoamento da utilização da linguagem matemática.
A avaliação de conhecimentos durante o processo Ensino-Aprendizagem consistirá em cinco listas individuais
de exercícios e problemas a realizar durante o semestre e duas provas escritas.
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Bibliografia principal |
- Colonius, F., & Kliemann, W. (2014). Dynamical Systems and Linear Algebra. Graduate Studies in Mathematics, 158. American Mathematical Society.
- Doering, C. I., & Lopes, A. O. (2016). Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária. (6.ª edição). IMPA.
- Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2013). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. (3.ª edição). Elsevier.
- Katok, A., & Hasselblatt, B. (2005). A Moderna Teoria de Sistemas Dinâmicos. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
- Robinson, C. (1999). Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Studies in Advanced Mathematics. (2nd edition). CRC Press.
- Sternberg, S. (2010). Dynamical Systems. Dover Books on Mathematics.
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| Língua |
Português
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