Código |
13318
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Ano |
1
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Semestre |
S1
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Créditos ECTS |
10
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Carga Horária |
TP(30H)
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Área Científica |
Física e Matemática
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Tipo de ensino |
Presencial e tutorial
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Estágios |
Não aplicável
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Objectivos de Aprendizagem |
O objetivo geral desta UC é dotar os alunos de conhecimentos aprofundados sobre equações diferenciais e sistemas dinâmicos. A abordagem seguida visa preparar os estudantes para desenvolver trabalhos de investigação em temas da física teórica e da física matemática moderna. No final desta UC, o aluno deverá ser capaz de: - Usar os conhecimentos adquiridos sobre equações diferenciais e sistemas dinâmicos no estudo de problemas oriundos da física teórica e da física matemática; - Desenvolver pensamento autónomo e original acerca dos temas estudados.
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Conteúdos programáticos |
General Theory Existence, uniqueness, and regularity of solutions Extension of solutions and maximal intervals Dependence on initial conditions and parameters Autonomous equations: phase space and flow Tubular flow theorem and Poincaré's application
Linear Equations (LE) Matrix exponentials and autonomous LE flow Conjugations and classification of autonomous linear fields Periodic LE and Floquet theory Non-autonomous LE: fundamental solution, Liouville's theorem
Stability and Hyperbolicity Examples of hyperbolic sets Hartman-Grobman theorem Invariant manifolds, Hadamard-Perron theorem Continuation of a hyperbolic set Stable/unstable manifold for hyperbolic sets Stability of hyperbolic sets Shadowing lemma
Structural Stability Anosov flows and Axiom A Spectral decomposition of Smale O-explosion cycles O-stability Examples beyond hyperbolicity - non-uniform hyperbolicity
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
As aulas serão teórico-práticas e tutoriais. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles. Ilustra ainda a teoria com exemplos e aplicações. O docente indica textos da bibliografia para o estudante ir aprofundando os seus conhecimentos. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios e problemas. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios, problemas e demonstrações matemáticas. A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em dois momentos: Realização de um trabalho (T) e apresentação de um seminário (S). A classificação final será CF=(0,5*T+0,5*S). O estudante poderá ainda realizar um exame final.
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Bibliografia principal |
Carmen Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer-Verlag,1999. Luís Barreira e Cláudia Valls, Equações Diferenciais: Teoria Qualitativa, IST Press, 2010. Claus I. Doering e Artur O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2005 Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2006
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Língua |
Português
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