Código |
13934
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Ano |
3
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Semestre |
S1
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Créditos ECTS |
6
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Carga Horária |
TP(60H)
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Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
(i) Apreender alguns conceitos e resultados fundamentais da teoria das equações às diferenças; (ii) Utilizar conceitos e resultados da teoria das equações às diferenças para analisar uma determinada equação ou sistema de equações às diferenças; (iii) Reconhecer alguns exemplos de aplicação das equações às diferenças na modelação de fenómenos das ciências exatas e sociais. (iv) Analisar e compreender demonstrações matemáticas; (v) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática;
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Conteúdos programáticos |
1. Esquemas iterativos
1.1 Operador deslocamento, operador diferença e operador anti-diferença
1.2 Comportamento assintótico e noções de estabilidade
1.3 Diagramas de teia de aranha
1.4 Pontos periódicos, bifurcação e caos
1.5 Teorema de Sharkovskii
2. Equações às diferenças escalares
2.1 Equações lineares
2.2 Estabilidade através da linearização
2.3 Equações lineares de ordem superior
2.4 Estabilidade local e global
3. Sistemas de equações às diferenças
3.1 Sistemas de equações lineares
3.2 Estabilidade através da linearização
3.3 Sistemas planares
3.4 Discretização de equações diferenciais: métodos de Euler e de Runge-Kutta
4. Transformada Z
4.1 Definição e propriedades
4.2 Transformada inversa
4.3 Equações de tipo convolução
4.4 Relação com as transformadas de Laplace e Fourier
5. Métodos Assintóticos
5.1 Os teoremas de Poincaré e Perron
5.2 O teorema de Birkhoff
5.3 Generalizações dos Teoremas de Poincaré e Perron
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
As aulas serão teórico-práticas. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles e discute exemplos de aplicação. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios, muitos dos quais baseados em equações ou sistemas de equações que surgem nas aplicações e que complementam os que forem apresentados nas aulas. Na interação com o professor será promovido o aperfeiçoamento da utilização, escrita e oral, da linguagem matemática.
A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em duas provas escritas, cada uma cotada para 10 valores. A classificação final será a soma das classificações das duas provas escritas. O estudante poderá ainda realizar um exame final cotado para 20 valores.
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Bibliografia principal |
- Agarwal, R.P. (1992). Difference Equations and Inequalities. New York: Marcel Dekker. - Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations. (3ª edição). Springer. - Goldberg, S. (1986). Introduction to Difference Equation. New York: Dover. - Kelley, W.G. & Peterson, A.C. (2000). Difference Equations - An Introduction With Applications. Academic Press.
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Língua |
Português
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