| Código |
13945
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| Ano |
3
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| Semestre |
S2
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| Créditos ECTS |
6
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| Carga Horária |
TP(60H)
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| Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
1. reconhecer e classificar curvas algébricas definidas por polinómios em duas variáveis reais, nomeadamente quanto ao número de componentes conexas, interseções e singularidades.
2. generalizar curvas algébricas a planos projetivos para poder incluir os pontos no infinito e lidar com comportamentos assintóticos.
3. compreender as vantagens de trabalhar com curvas sobre o corpo dos números complexos.
4. compreender o conceito de multiplicidade de interseção de curvas planas e usar o resultante para demonstrar o Teorema de Bézout.
5. reconhecer uma curva algébrica projetiva não-singular como uma superfície de Riemann compacta e saber demonstrar a fórmula do grau-género para superfícies com base no teorema de Riemann-Hurwitz.
6.saber descrever zeros e pólos de diferenciais e funções meromorfas sobre uma superfície em termos de divisores e aplicar o teorema de Riemann-Roch para o cálculo da dimensão dos espaços associados.
7.compreender em detalhe o caso particular das curvas elípticas.
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Conteúdos programáticos |
1. Introdução – motivação, definições preliminares e exemplos
2. Espaços Projetivos e Afins
3. Curvas Algébricas Planas Complexas: curvas afins e curvas projetivas; tangentes e singularidades.
4. Interseção de Curvas Planas e Multiplicidades: Teorema de Bézout.
5. Superfícies de Riemann: o teorema de Riemann-Hurwitz; a fórmula do grau-género.
6. Teorema de Riemann- Roch
7. Curvas Elípticas
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
• Embora não se descure a demonstração detalhada da maioria dos resultados fundamentais, grande enfoque será dado à ilustração das principais ideias com variados exemplos.
• Aulas teórico-práticas e trabalhos de casa.
• A avaliação é efectuada através de dois testes escritos (90%) e de fichas de exercícios (10%) para resolução em casa, que deverão ser entregues pelos alunos em datas previamente fixadas pelo professor.
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Bibliografia principal |
1. E. Kunz, Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhauser (2005)
2. F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press (1995)
3. G. Fischer, Plane Algebraic Curves, American Mathematical Association (2000)
4. I. Vainsencher, Introdução às Curvas Algébricas Planas, IMPA (2009)
5. K. Kendig, Plane Algebraic Curves, Mathematical American Association (2011)
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| Língua |
Português
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