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Geometria

Código 14763
Ano 1
Semestre S2
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Objectivos de Aprendizagem Com a frequência nesta unidade, pretende-se que o aluno tenha oportunidade de adquirir uma perspectiva integrada da geometria que lhe permita:
1. Compreender as propriedades fundamentais das geometrias euclidiana, afim, projetiva, esférica e hiperbólica;
2. Comparar as geometrias euclidiana, esférica e hiperbólica em termos de suas propriedades métricas,
trigonométricas e de paralelismo;
3. Classificar as cónicas a menos de transformações euclidianas, afins e projectivas;
4. Reconhecer o significado geométrico de diferentes objetos em álgebra linear e usar métodos da álgebra linear na resolução de problemas geométricos;
5. Entender cada geometria como o estudo dos invariantes para o grupo de transformações correspondentes.
Conteúdos programáticos 1. Geometria Euclidiana. Orientação, produto interno, produto externo e produto misto em R^3. Isometrias e
homotetias no plano e no espaço. Secções cónicas e superfícies quádricas.
2. Geometria Afim. Estrutura afim e transformações afins. O determinante de uma transformação. O Teorema
Fundamental da Geometria Afim. Transformações afins e cónicas.
3. Geometria Projectiva. O plano projectivo. Coordenadas homogéneas. Transformações projectivas. O Teorema Fundamental do Plano Projectivo. Teoremas de Desargues e Pappus. Formas bilineares e cónicas. O princípio da Dualidade.
4. Geometria Esférica. A superfície esférica. Relação entre a superfície esférica e o plano projetivo. Distância. Isometrias na esfera. Triângulos Esféricos. O plano complexo estendido, projecções estereográficas e inversões.Transformações de Möbius.
5. Geometria Hiperbólica. O plano hiperbólico e o axioma das paralelas. O modelo de Poincaré. Distância. Isometrias no plano hiperbólico. Triângulos hiperbólicos.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação 1. Aulas presenciais;
2. Realização de trabalho individual orientado pelo professor;
3. Aulas não presenciais usando a plataforma Zoom;
4. Os alunos poderão ser avaliados através de exame final ou através de avaliação contínua.
5. A avaliação contínua tem a estrutura seguinte:
5.1- 14 Listas de exercícios realizadas individualmente
Realização no prazo estabelecido - 4 valores
Discussão individual dos exercícios resolvidos - 6 valores
5.2- Trabalho final individual com discussão - 10 valores.
Bibliografia principal 1. D.A. Brannan, M.F. Esplen, J.J. Gray. Geometry, Cambridge University Press, 1999.
2. J. Stillwell, The Four Pillars of Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2005.
3. A. Barros, P. Andrade. Introdução à Geometria Projectiva, Textos Universitários, Sociedade Brasileira de Matemática, 2010.
Língua Português
Data da última atualização: 2021-06-19
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