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Espaços Métricos e Topológicos

Código 14781
Ano 2
Semestre S2
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Objectivos de Aprendizagem
Nesta unidade curricular pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos, princípios e métodos dos espaços métricos e dos espaços topológicos e os saibam utilizar noutras áreas da Matemática.

No final da unidade curricular os alunos deverão ser capazes de:
- aplicar os conceitos básicos de espaços métricos e de espaços topológicos;
- reconhecer a importância dos espaços métricos completos;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema do ponto fixo de Banach;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema de Baire;
- ilustrar as definições com exemplos;
- compreender a demonstração dos resultado básicos sobre separação, compacidade e conexidade de espaços topológicos.
Conteúdos programáticos
1. ESPAÇOS MÉTRICOS
1.1 Definição e primeiros exemplos
1.2 Espaços de sucessões de Lebesgue
1.3 Bolas abertas e bolas fechadas
1.4 Conjuntos abertos e conjuntos fechados
1.5 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
1.6 Funções contínuas
1.7 Sucessões
1.8 Espaços métricos completos
1.9 Completamento de um espaço métrico
1.10 Teorema do ponto fixo de Banach
1.11 Teorema de Baire
1.12 Compacidade em espaços métricos
1.13 Conexidade

2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.1 Definição e exemplos
2.2 Conjuntos fechados
2.3 Bases e sub-bases
2.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
2.5 Funções contínuas
2.6 Subespaços
2.7 Espaços produto
2.8 Axiomas de separação
2.9 Compacidade
2.10 Conexidade
Bibliografia principal
Buskes, G., & van Rooij, A. (2012). Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer.
Conway, J. B. (2014). A course in point set topology. Springer.
Croom, F. H. (2016). Principles of topology. Dover Publications.
Engelking, R. (1989). General topology. Heldermann Verlag.
Giles, J. R. (1987). Introduction to the analysis of metric spaces. Cambridge University Press.
Lima, E. L. (2017). Espaços métricos. Projecto Euclides. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 5.ª edição
Lima, E. L. (2014). Elementos de topologia geral. Textos Universitários. Sociedade Brasileira de Matemática
Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall.
Willard, S. (2013). General Topology. Dover Publications.
Língua Português
Data da última atualização: 2021-06-19
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