Código |
15614
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Ano |
1
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Semestre |
S1
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Créditos ECTS |
8
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Carga Horária |
TP(60H)
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Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
Nesta Unidade Curricular faz-se uma introdução à Teoria da Medida e Integração e desenvolve-se o estudo de Sistemas Dinâmicos caóticos através de medidas invariantes, propriedades de recorrência e entropia.
No final da Unidade Curricular os alunos deverão: i. ser capazes de definir espaços de medida e reconhecer algumas das suas principais características; ii. saber os fundamentos da integração de Lebesgue e compreender os principais resultados sobre espaços Lp; iii. saber identificar medida(s) invariante(s) de um sistema dinâmico e usá-la(s) como ferramenta de análise; iv. conhecer os principais teoremas ergódicos e seus corolários; v. ser capazes de interpretar e desenvolver o conceito de entropia de um sistema dinâmico; vi. conhecer e relacionar diferentes modelos básicos de sistemas dinâmicos discretos; vii. recorrer à Teoria Ergódica para formular e resolver problemas em diferentes áreas de Matemática e da Ciência.
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Conteúdos programáticos |
1. Medida 1.1 Espaços mensuráveis. 1.2 Espaços de medida 1.3 Medida de Lebesgue
2. Integração 2.1 Funções mensuráveis 2.2 Integral de Lebesgue 2.3 O integral de Riemann e o integral de Lebesgue 2.4 Espaços Lp 2.5. Teorema de Radon-Nikodym 2.6 Teorema de Fubini
3 Medidas invariantes por uma dinâmica 3.1 Sistemas dinâmicos discretos 3.2 Medidas invariantes 3.3 Exemplos 3.4 Teorema de Recorrência de Poincaré e Teorema de Kac 3.5 Transformações induzidas 3.6 Existência de medidas invariantes
4. Sistemas ergódicos 4.1 Medidas ergódicas 4.2 Teoremas ergódicos e aplicações 4.3 Teoremas de recorrência múltipla e aplicações 4.4 Sistemas misturadores
5. Entropia 5.1 Entropia de uma partição 5.2 Entropia de um sistema dinâmico 5.3 Teorema de Kolmogorov-Sinai e Teorema de Shannon-McMillan-Breiman 5.4 Aplicações
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
O ensino desta Unidade Curricular assenta na apresentação pelo professor dos conteúdos e respetiva bibliografia, acompanhada pela resolução de exercícios e discussão aberta de problemas relacionados. Periodicamente são apresentados listas de exercícios/problemas aos alunos, que são corrigidos e submetidos a discussão. É proposto um tema a desenvolver por cada aluno que é apresentado em sala de aula.
A avaliação consiste na realização de um teste escrito global (T), cinco (listas de) exercícios (E) e um trabalho a ser apresentado (A) sobre um tema a ser proposto pelo professor. A classificação final será dada através do cálculo CF=0,5*T+0,25*E+0,25*A, onde as classificações parciais T, E e A são expressas numa escala 0-20.
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Bibliografia principal |
- Dajani, K & Kall, C. (2021). A first course in Ergodic Theory. CRC Press, Taylor and Francis. - Mañé, R: (1983). Introdução à Teoria Ergódica. IMPA. - Parthasarathy, K. R. (2005). Introduction to Probability and Measure (Texts and Readings in Mathematics Book 33). Hindustan Book Agency. - Silva, C. E. (2008). Invitation to ergodic the0ory. Providence (R.I.): American mathematical Society. - Viana, M \& Oliveira, K. (2019). Fundamentos da Teoria Ergódica. SBM. - Vilarinho, H. (2022), Notas para as aulas de Medida e Sistemas Ergódicos, UBI. - Walters, P. (2000). An Introduction to Ergodic Theory (Graduate Texts in Mathematics, 79) (Softcover Repri ed.). Springer.
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Língua |
Português
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