Cálculo I

Imagem d@ António Jorge Gomes Bento [Ficheiro Local]
António Jorge Gomes Bento
Código:
10341
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Tipo de ensino:
Teórico/Prático
Estágios:
Não aplicável.
Objectivos de Aprendizagem:

Nesta Unidade Curricular os alunos vão adquirir os conhecimentos básicos de Cálculo Diferencial e Integral de funções reais de variável real.
 
No final desta Unidade Curricular os estudantes deverão
- resolver inequações racionais e com módulos;
- determinar domínios e esboçar o gráfico de uma função;
- calcular limites de funções reais de variável real;
- estudar a continuidade de funções reais de variável real;
- derivar funções reais de variável real;
- saber aproximar funções por polinómios de Taylor;
- aplicar as derivadas ao cálculo de máximos e mínimos e ao esboço de gráficos de funções;
- integrar funções reais de variável real;
- aplicar integrais no cálculo de áreas planas, no cálculo de comprimento de curvas e no cálculo da área de superfície e do volume de um sólido de revolução;
- determinar a natureza de uma série numérica;
- calcular o intervalo de convergência de uma série de potências.
Conteúdos programáticos:

1. GENERALIDADES E EXEMPLOS DE FUNÇÕES
Números Reais
Generalidades sobre funções
Inversa e composição de funções
Funções polinomiais, racionais, módulo, exponencial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas

2. LIMITES E CONTINUIDADE
Noções topológicas
Limites
Continuidade
Teoremas de Bolzano e de Weierstrass
Limites infinitos, limites no infinito e assíntotas.

3. CÁLCULO DIFERENCIAL
Derivadas, regras de derivação e exemplos
Teoremas de Fermat, de Rolle, de Lagrange e de Taylor
Regra de Cauchy
Aplicações

4. CÁLCULO INTEGRAL
Definição e propriedades do integral de Riemann
Teorema Fundamental do Cálculo
Primitivas
Aplicações
Técnicas de primitivação e de integração

5. SUCESSÕES E SÉRIES
Sucessões
Natureza de uma série
Critérios geral de comparação, do limite, de D'Alembert, de Cauchy e de Leibniz
Convergência absoluta
Séries de potências
Intervalo de convergência de um série de potências
Séries de Taylor
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:

A unidade curricular funciona em aulas teórico-práticas. No início de cada aula o docente faz uma exposição teórica da matéria e de seguida os alunos resolvem exercícios de fichas de trabalho fornecidas pelo docente.

A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuados dois testes, cada um deles valendo para 10 valores.

Designando por T1 a nota do primeiro teste e por T2 a nota do segundo teste, a classificação final será calculada da seguinte forma:
- se T1 + T2 for inferior a 18,5 valores, a classificação final será o arredondamento às unidades de T1 + T2;
- se T1 + T2 for superior ou igual a 18,5 valores, terá de ser feita uma prova oral; à prova oral será atribuída uma nota, que designaremos por PO, entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de max{18,(T1 + T2 + PO)/2}.

São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.

Todos os alunos são admitidos a exame.
Bibliografia principal:

Bibliografia principal
– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1, Reverté, 1993
– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole Publishing Company, 2008
– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill, 1983

Bibliografia secundária
– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989
– Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, McGrawHill, 1977
– Lang, S., A First Course in Calculus, Undergraduate texts in Mathematics, Springer, 5th edition
– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1, Projecto Euclides, IMPA, 1989
– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004
– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
– J. P. Santos, Cálculo numa Variável Real, IST Press, 2013
– Sarrico, C., Análise Matemática – Leituras e exercícios, Gradiva, 3.ª Ed., 1999
Língua:
Português