Análise Real I

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Helder Vilarinho
Código:
14757
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
7,5
Carga Horária:
TP(75H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
i) Apreender, relacionar e aplicar conceitos e resultados básicos do cálculo de funções reais de variável real;
ii) Aplicar os conceitos de limite, derivada e integral de uma função real de variável real;
iii) Analisar e compreender demonstrações matemáticas;
iv) Formular e resolver problemas relacionados com funções reais de variável real;
v) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática.
Conteúdos programáticos:
1 Números reais
1.1 Axiomática dos números reais
1.2 Números naturais; indução
1.3 Sucessões
1.4 Sucessões de Cauchy
1.5 Noções topológicas

2 Funções reais de variável real
2.1 Domínio, contradomínio e gr áfico
2.2 Limites; limites laterais; limites infinitos e limites no infinito
2.3 Assíntotas
2.4 Continuidade
2.5 Continuidade uniforme
2.6 Teoremas de Bolzano e de Weierstrass

3 Cálculo Diferencial
3.1 Derivada: interpretação geométrica; derivadas laterais;
3.2 Diferenciabilidade; regras de derivação
3.3 Derivada da função composta e da função inversa
3.4 Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy
3.5 Regra de Cauchy e levantamento de indeterminações
3.6 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
3.7 Extremos e convexidade

4 Cálculo Integral
4.1 Integral de Riemann; integrabilidade
4.2 Teorema Fundamental do Cálculo
4.3 Técnicas de primitivação e integração
4.4 Aplicações
4.5 Integrais Impróprios
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
A avaliação consistirá em três listas individuais de exercícios (E1, E2 e E3, numa escala de 0 a 1 valor), um trabalho a apresentar em aula (A, numa escala de 0 a 2 valores) e dois testes escritos (T1 e T2, apresentadas numa escala de 0 a 20 valores). A classificação final será dada pelo arredondamento às unidades do resultado obtido pelo seguinte cálculo:
CF =0,75T+E+A,
onde T= (T1+T2)/2, E=E1+E2+E3.
Se, após o arredondamento, a classificação for superior a 16 valores, o/a aluno/a deve realizar uma prova oral. Neste caso, a classificação final será atribuída pelo júri da prova oral e não poderá ser inferior a 16 valores.
Todos os alunos podem apresentar-se à prova oral, sendo a classificação final atribuída pelo júri, tendo em conta as classificações obtidas nos diferentes momentos de avaliação e o desempenho na prova oral. Nestas circunstâncias, se o aluno se apresentar à prova oral com CF maior ou igual a 10, a classificação final não será inferior a 10.
Bibliografia principal:
Principal
- Lages Lima, E. (2017). Análise Real, vol. 1. (12ª edição). IMPA.\\

Complementar
- Ferreira, J. C. (2008). Introdução à Análise Matemática. (9ª edição). Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
- Lages Lima, E. (1992). Curso de Análise, vol. 1. (7ª edição). IMPA.
- Sarrico, C. (2017). Análise Matemática - Leituras e Exercícios. (8.ª edição). Gradiva.
- Tao, T. (2016). Analysis I, Texts and Readings in Mathematics. (3rd edition). Springer.
- Stewart, James, {\it C\'alculo} - Volume I, $7^a$ edição, Cengage Learning, 2014.
Língua:
Português