Análise Real II

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César Augusto Teixeira Marques da Silva
Código:
14762
Ano:
1
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
7,5
Carga Horária:
TP(75H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
i) Apreender e relacionar conceitos e resultados básicos sobre séries numéricas, integrais impróprios e séries de funções;
ii) Formular e resolver problemas relacionados com séries numéricas, integrais imprórpios e séries de funções;
iii) Apreender e relacionar conceitos e resultados básicos sobre limites, continuidade e derivadas de funções vetoriais de várias variáveis reais;
iv) Formular e resolver problemas relacionados com limites, continuidade e derivadas de funções vetoriais de várias variáveis reais;
v) Analisar e compreender demonstrações matemáticas, em particular no âmbito do cálculo vetorial;
vi) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática.
Conteúdos programáticos:
1. Series
1.1 Definition and examples
1.2 Series with terms of fixed sign
1.3 Dirichlet’s criterion and Leibniz’s criterion
1.4 Simple convergence and absolute convergence
1.5 Sequences of functions: pointwise convergence and uniform convergence
1.6 Series of functions
1.7 Power series
1.8 The functions exp, log, sin, and cos
1.9 Taylor series

2. Improper integrals
2.1 Improper integrals of the first kind
2.2 Improper integrals of the second kind
2.3 Integral test

3. Functions of several variables
3.1 Algebraic and topological structure of R^n
3.2 Functions from R^n to R^m
3.3 Limits
3.4 Continuity

4. Differential Calculus
4.1 Partial and directional derivatives
4.2 Differentiability. Derivative as a linear transformation
4.3 Derivative of the composite function
4.4 Inverse function theorem and implicit function theorem
4.5 Higher-order partial derivatives and Taylor’s formula
4.6 Local extrema
4.7 Constrained extrema and the method of Lagrange multipliers
4.8 Applications
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
A avaliação de conhecimentos durante o processo Ensino - Aprendizagem consistirá em duas provas escritas cotadas para 10 valores e, eventualmente, uma prova oral. Um aluno será aprovado se na soma das notas dos testes tiver classificação maior ou igual do que 9,5 valores. Sempre que a classificação final for maior ou igual do que 16,5 valores terá lugar uma prova oral para defesa de nota, estando à partida assegurada uma nota mínima de 16 valores. Se, havendo lugar a defesa, o aluno não comparecer, ficará com nota final igual a 16 valores. Para ser admitido a exame o/a aluno/a deverá ter assistido a, pelo menos, uma aula. Os estudantes com estatuto especial têm regras próprias definidas pelo Regulamento Académico
Bibliografia principal:
- Conway, J. B. (2017). A First Course in Analysis. Cambridge University Press.
- Dias Agudo, F. R. (1994). Análise Real, vol. I. (2.ª edição). Escolar Editora.
- Ferreira, J. C. (2008). Introdução à Análise Matemática. (9.ª edição). Fundação Calouste Gulbenkian.
- Lages Lima, E. (2017). Curso de Análise, vol. 1. (14.ª edição). IMPA.
- Lages Lima, E. (2015). Curso de Análise, vol. 2. (11.ª edição). IMPA.
- Lages Lima, E. (2017). Análise Real, vol. 1. (12.ª edição). IMPA.
- Lages Lima, E. (2016). Análise Real, vol. 2. (6.ª edição). IMPA.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2012). Vector calculus. (6th ed.). W H Freeman & Co.
- Sarrico, C. (2009). Cálculo Diferencial e Integral para Funções de Várias Variáveis. Esfera do Caos.
Língua:
Português