Geometria

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Pedro Morais
Código:
14763
Ano:
1
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
Com a frequência nesta unidade, pretende-se que o aluno adquira uma perspectiva integrada da geometria que lhe permita:
1. Compreender as propriedades fundamentais das geometrias euclidiana, afim, projetiva, esférica e hiperbólica;
2. Comparar as geometrias euclidiana, esférica e hiperbólica em termos de suas propriedades métricas,
trigonométricas e de paralelismo;
3. Classificar as isometrias de R^2 e R^3;
4.Classificar as cónicas a menos de transformações euclidianas, afins e projectivas;
5. Reconhecer o significado geométrico de diferentes objetos em álgebra linear e usar métodos da álgebra linear na resolução de problemas geométricos;
6. Entender cada geometria como o estudo dos invariantes para o grupo de transformações correspondentes.
Conteúdos programáticos:
1. Geometria Afim.
Espaços Afins e Aplicações afins;
2. Geometria Euclidiana
Espaços afins Euclidianos, Reflexões, Isometrias, Simetrias e Congruências. Teorema Fundamental da Geometria Afim. Cónicas
3. Geometria Projectiva.
O Espaço projetivo. Coordenadas homogéneas. Mergulhos do espaço Afim no espaço projetivo. Dualidade. Transformações projetivas. O Teorema Fundamental do Plano Projetivo. Teoremas de Desargues e Pappus.
4. Geometria Elíptica
A superfície esférica. O plano Elíptico. A esfera de Riemann.
5. Geometria Hiperbólica.
O plano hiperbólico. O disco de Poincaré. Distância. Isometrias no plano hiperbólico. Triângulos hiperbólicos.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
1- Avaliação contínua (AC):
i) Dois testes - 8 valores cada. (T1, T2)
ii) Resolução de exercícios - 4 valores. (RE)
iii) Se T1+T2+RE<9.5 então AC=T1+T2+RE
iv) Se T1+T2+RE>=9.5, Prova oral - 20 valores. (PO). Neste caso AC=(T1+T2+RE+PO)/2;
2- O aluno será dispensado do exame final se a nota final da AC for superior ou igual a 9.5;
3- Serão admitidos a exame final todos os alunos que tenham obtido na AC uma classificação superior ou igual a 5.5;
4- Caso o aluno obtenha na AC uma classificação inferior a 5.5, não será admitido a exame final;
5- Em exame, todos os alunos com nota superior ou igual a 9.5 serão convocados para uma prova oral - 20 valores. A nota final será a média aritmética da classificação do exame escrito e da prova oral;
6- Os estudantes com estatuto especial têm regras próprias definidas pelo regulamento académico.
Bibliografia principal:
1. Leonor Godinho e Margarida Mendes Lopes. Introdução à Geometria. Coleção Ensino da Ciência e da Tecnologia. IST Press. 2024
2. D.A. Brannan, M.F. Esplen, J.J. Gray. Geometry, Cambridge University Press, 1999.
3. J. Stillwell, The Four Pillars of Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2005.
4. A. Barros, P. Andrade. Introdução à Geometria Projectiva, Textos Universitários, Sociedade Brasileira de Matemática, 2010.
Língua:
Português