Espaços Métricos e Topológicos

Imagem d@ António Jorge Gomes Bento [Ficheiro Local]
António Jorge Gomes Bento
Código:
14781
Ano:
2
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:

Nesta unidade curricular pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos, princípios e métodos dos espaços métricos e dos espaços topológicos e os saibam utilizar noutras áreas da Matemática.

No final da unidade curricular os alunos deverão ser capazes de:
- aplicar os conceitos básicos de espaços métricos e de espaços topológicos;
- reconhecer a importância dos espaços métricos completos;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema do ponto fixo de Banach;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema de Baire;
- ilustrar as definições com exemplos;
- compreender a demonstração dos resultado básicos sobre separação, compacidade e conexidade de espaços topológicos.
Conteúdos programáticos:

0. GENERALIDADES
0.1 Imagem e pré-imagem de um conjunto por uma função
0.2 Famílias de conjuntos

1. ESPAÇOS MÉTRICOS
1.1 Definição e primeiros exemplos
1.2 Espaços normados
1.3 Bolas abertas e bolas fechadas
1.4 Conjuntos abertos e conjuntos fechados
1.5 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
1.6 Funções contínuas
1.7 Sucessões
1.8 Sucessões de Cauchy e espaços métricos completos
1.9 Completamento de um espaço métrico
1.10 Teorema do ponto fixo de Banach
1.11 Teorema de Baire
1.12 Compacidade em espaços métricos
1.13 Conexidade em espaços métricos

2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.1 Definição e exemplos
2.2 Conjuntos fechados
2.3 Bases e sub-bases
2.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
2.5 Funções contínuas
2.6 Subespaços
2.7 Espaços produto
2.8 Axiomas de separação
2.9 Compacidade em espaços topológicos
2.10 Conexidade em espaços topológicos
Bibliografia principal:

– Buskes, G., & van Rooij, A. (2012). Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer.
– Conway, J. B. (2014). A Course in Point Set Topology. Springer.
– Croom, F. H. (2016). Principles of Topology. Dover Publications.
– Engelking, R. (1989). General Topology. Heldermann Verlag.
– Giles, J. R. (1987). Introduction to the Analysis of Metric Spaces. Cambridge University Press.
– Lima, E. L. (2017). Espaços Métricos. Projecto Euclides. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 5.ª edição
– Lima, E. L. (2014). Elementos de Topologia Geral. Textos Universitários. Sociedade Brasileira de Matemática
– Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall.
– Willard, S. (2013). General Topology. Dover Publications.
Língua:
Português