Métodos Variacionais

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Pedro Morais
Código:
14806
Ano:
3
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
Com a aprovação nesta unidade de introdução ao cálculo variacional, o aluno deve ser capaz de:

1. resumir os fundamentos do cálculo de variações e as suas aplicações mais importantes em matemática e física;
2. derivar as equações de Euler-Lagrange para diversos problemas variacionais;
3. resolver problemas variacionais com restrições: tanto algébricas como isoperimétricas;
4. derivar quantidades conservadas a partir de simetrias, e usá-las para resolver as equações de Euler-Lagrange
5. analisar a estabilidade local dos pontos críticos de um problema variacional.
Conteúdos programáticos:
1. Motivação: a braquistócrona, a catenária, geodésicas e superfícies mínimas.
2. Primeira variação e a equação de Euler Lagrange.
3. Problemas isoperimétricos.
4. Restrições holonómicas e não-holonómicas.
5. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.
6. Teorema de Noether.
7. Segunda variação.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
1- Avaliação contínua (AC):
i) Dois testes - 8 valores cada. (T1, T2)
ii) Resolução de exercícios - 4 valores. (RE)
iii) Se T1+T2+RE<9.5 então AC=T1+T2+RE
iv) Se T1+T2+RE>=9.5, Prova oral - 20 valores. (PO). Neste caso AC=(T1+T2+RE+PO)/2;
2- O aluno será dispensado do exame final se a nota final da AC for superior ou igual a 9.5;
3- Serão admitidos a exame final todos os alunos que tenham obtido na AC uma classificação superior ou igual a 5.5;
4- Caso o aluno obtenha na AC uma classificação inferior a 5.5, não será admitido a exame final;
5- Em exame, todos os alunos com nota superior ou igual a 9.5 serão convocados para uma prova oral - 20 valores. A nota final será a média aritmética da classificação do exame escrito e da prova oral;
6- Os estudantes com estatuto especial têm regras próprias definidas pelo regulamento académico.
Bibliografia principal:
1. The Calculus of Variations, Bruce van Brunt, New York: Springer, 2004.
2. Calculus of Variations: with applications to physics and engineering. Robert Weinstock. New York: Dover, 1974.
3. Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. V. I. Arnold, Moscovo: Mir, 1987.
Língua:
Português