Medida e Sistemas Ergódicos

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Helder Vilarinho
Código:
15614
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
8
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
Nesta Unidade Curricular faz-se uma introdução à Teoria da Medida e Integração e desenvolve-se o estudo de Sistemas Dinâmicos caóticos através de medidas invariantes, propriedades de recorrência e entropia.
No final da Unidade Curricular os alunos deverão:
i. ser capazes de definir espaços de medida e reconhecer algumas das suas principais características;
ii. saber os fundamentos da integração de Lebesgue e compreender os principais resultados sobre espaços Lp;
iii. saber identificar medida(s) invariante(s) de um sistema dinâmico e usá-la(s) como ferramenta de análise;
iv. conhecer os principais teoremas ergódicos e seus corolários;
v. ser capazes de interpretar e desenvolver o conceito de entropia de um sistema dinâmico;
vi. conhecer e relacionar diferentes modelos básicos de sistemas dinâmicos discretos;
vii. recorrer à Teoria Ergódica para formular e resolver problemas em diferentes áreas de Matemática e da Ciência.
Conteúdos programáticos:
1. Medida
1.1 Espaços mensuráveis.
1.2 Espaços de medida
1.3 Medida de Lebesgue

2. Integração
2.1 Funções mensuráveis
2.2 Integral de Lebesgue
2.3 O integral de Riemann e o integral de Lebesgue
2.4 Espaços Lp
2.5. Teorema de Radon-Nikodym
2.6 Teorema de Fubini

3 Medidas invariantes por uma dinâmica
3.1 Sistemas dinâmicos discretos
3.2 Medidas invariantes
3.3 Exemplos
3.4 Teorema de Recorrência de Poincaré e Teorema de Kac
3.5 Transformações induzidas
3.6 Existência de medidas invariantes

4. Sistemas ergódicos
4.1 Medidas ergódicas
4.2 Teoremas ergódicos e aplicações
4.3 Teoremas de recorrência múltipla e aplicações
4.4 Sistemas misturadores

5. Entropia
5.1 Entropia de uma partição
5.2 Entropia de um sistema dinâmico
5.3 Teorema de Kolmogorov-Sinai e Teorema de Shannon-McMillan-Breiman
5.4 Aplicações
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
A avaliação consiste na realização de um teste escrito global (T), cinco (listas de) exercícios individuais (E1,..., E5) e um trabalho individual a ser apresentado (A) sobre um tema a ser proposto pelo professor. A classificação final (CF) será dada através do arredondamento às unidades da classificação obtida através do cálculo
CF=0,5*T+0,25*E+0,25*A,
onde as classificações parciais T, Ei e A são expressas numa escala 0-20 e E é a média aritmética simples das classificações E1,...,E5.
Bibliografia principal:
- Dajani, K & Kall, C. (2021). A first course in Ergodic Theory. CRC Press, Taylor and Francis.
- Mañé, R: (1983). Introdução à Teoria Ergódica. IMPA.
- Parthasarathy, K. R. (2005). Introduction to Probability and Measure (Texts and Readings in Mathematics Book 33). Hindustan Book Agency.
- Silva, C. E. (2008). Invitation to ergodic theory. Providence (R.I.): American mathematical Society.
- Viana, M & Oliveira, K. (2019). Fundamentos da Teoria Ergódica. SBM.
- Vilarinho, H. (2022), Notas para as aulas de Medida e Sistemas Ergódicos, UBI.
- Walters, P. (2000). An Introduction to Ergodic Theory (Graduate Texts in Mathematics, 79) (Softcover Repri ed.). Springer.
Língua:
Português