Teoria de Galois e Álgebra Comutativa

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Celino José Martins Miguel
Código:
15626
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(45H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve:
1. Dominar, relacionar e saber aplicar conceitos, resultados fundamentais e técnicas da Teoria de Galois e da Álgebra Comutativa, utilizados em diversos domínios da Matemática e suas Aplicações, nomeadamente: Geometria Algébrica, Teoria de Números, Teoria de Códigos e Criptografia;
2. Utilizar adequadamente a linguagem matemática na comunicação escrita e oral, apresentando com correção, segurança e clareza os tópicos lecionados, os exercícios resolvidos e os trabalhos propostos.
Conteúdos programáticos:

1. Teoria de Galois
1.1. O Grupo de Galois
1.2. Extensões normais e extensões separáveis
1.3. A Correspondência de Galois
1.4. Resolução de equações algébricas por meio de radicais

2. Anéis Comutativos e Ideais
2.1. Definições e propriedades elementares
2.2. Ideais primos e ideais maximais
2.3. O radical Nil e o radical de Jacobson
2.4. Anéis noetherianos e anéis artinianos
2.5. Teorema de estrutura para anéis artinianos
2.6. Teorema dos zeros de Hilbert

3. Módulos
3.1. Módulos e homomorfismos de módulos
3.2. Sequências exatas
3.3. Submódulos e módulos quociente
3.4. Somas diretas e produtos diretos
3.5. Independência linear
3.6. Produtos tensoriais
3.7. Módulos sobre domínios de integridade
3.8. Módulos finitamente gerados
3.9. Aplicações: diagonalização de matrizes com entradas num domínio de ideais principais; classificação de grupos abelianos de tipo finito; forma canónica de Jordan.
Bibliografia principal:
Stewart, I. (2015). Galois theory. Fourth edition. CRC Press, Boca Raton, FL.
Artin, E. (1998). Galois Theory, Dover Publications, Mineola, NY.
Tignol, J. P. (2016). Galois theory of algebraic equations. Second edition. World Scientific Publishing Co Pte Ltd.

Atiyah, M. F., MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading,Mass.-London-Don Mills.
Zariski, O., Samuel, P. (1975). Commutative Algebra. Springer Science & Business Media.
Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics,150. Springer-Verlag, New York.
Kaplansky, I. (1970). Commutative Rings. Boston.
Kemper, G. (2010). A Course in Commutative Algebra. Springer Science & Business Media.
Matsumura, H. (1980).Commutative Algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56.Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass.
Língua:
Português