Métodos Variacionais

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Pedro Morais
Código:
14806
Ano:
3
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
Com a aprovação nesta unidade de introdução ao cálculo variacional, o aluno deve ser capaz de:

1. resumir os fundamentos do cálculo de variações e as suas aplicações mais importantes em matemática e física;
2. derivar as equações de Euler-Lagrange para diversos problemas variacionais;
3. resolver problemas variacionais com restrições: tanto algébricas como isoperimétricas;
4. derivar quantidades conservadas a partir de simetrias, e usá-las para resolver as equações de Euler-Lagrange
5. analisar a estabilidade local dos pontos críticos de um problema variacional.
Conteúdos programáticos:
1. Motivação: a braquistócrona, a catenária, geodésicas e superfícies mínimas.
2. Primeira variação e a equação de Euler Lagrange.
3. Problemas isoperimétricos.
4. Restrições holonómicas e não-holonómicas.
5. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana.
6. Teorema de Noether.
7. Segunda variação.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
1. A metodologia de ensino divide-se em duas componentes: Aulas teóricas e trabalho autónomo dos alunos.
A parte teórica decorre com a exposição pelo professor dos conteúdos programáticos, com base na bibliografia da unidade ou em outros apontamentos disponibilizados. Nesta unidade de introdução ao cálculo variacional, as demonstrações mais técnicas e elaboradas poderão ser omitidas sempre que tal não prejudique o entendimento das ideias fundamentais e técnicas de cálculo. Na componente autónoma, os alunos serão orientados para aprofundarem alguns dos resultados teóricos expostos pelo professor assim para a resolução de exercícios propostos;
2. A avaliação é efetuada através de dois testes (8+8 valores), resolução de exercícios propostos e de apresentações em aula (4 valores). A classificação final será dada pela soma das classificações destes elementos de avaliação.
Bibliografia principal:
1. The Calculus of Variations, Bruce van Brunt, New York: Springer, 2004.
2. Calculus of Variations: with applications to physics and engineering. Robert Weinstock. New York: Dover, 1974.
3. Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. V. I. Arnold, Moscovo: Mir, 1987.
Língua:
Português