Equações às Diferenças e Aplicações

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César Augusto Teixeira Marques da Silva
Código:
15372
Ano:
2
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
(i) Apreender alguns conceitos e resultados fundamentais da teoria das equações às diferenças;
(ii) Utilizar conceitos e resultados da teoria das equações às diferenças para analisar uma determinada equação ou sistema de equações às diferenças;
(iii) Reconhecer alguns exemplos de aplicação das equações às diferenças na modelação de fenómenos das ciências exatas e sociais.
(iv) Analisar e compreender demonstrações matemáticas;
(v) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática;
Conteúdos programáticos:
1. Equações às diferenças de 1ª ordem: Soluções, órbitas e equações lineares; Estabilidade de pontos de equilíbrio e de órbitas periódicas; Bacia de atração e estabilidade global;
Duplicação de período, bifurcação e caos.
2. Equações às diferenças de ordem superior: Cálculo de diferenças; Equações escalares lineares de ordem $n$; Método dos coeficientes indeterminados; Comportamento limite das soluções;
Teoremas de Poincaré e Perron.
3. Sistemas de equações às diferenças lineares: Algoritmo de Putzer; Matriz fundamental e solução geral; Forma canónica de Jordan; Sistemas lineares periódicos: teoria de Floquet.
4. Estabilidade de sistemas de equações às diferenças: Noções de estabilidade; Estabilidade de sistemas lineares; Estabilidade de sistemas periódicos lineares; Método direto de Lyapunov; Estabilidade através da linearização.
5. Transformada Z: Transformada Z; Transformada Z inversa; Sistemas de Volterra.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
No período ensino-aprendizagem, a avaliação consistirá em dois testes escritos.
Cada teste será cotado para 10 valores. Um aluno fica aprovado se a soma das notas dos testes for superior ou igual a 9,5 valores.
Sempre que a nota exceda 16 valores, o aluno realizará uma prova oral para defesa de nota, sendo que, independentemente da comparência do aluno e do resultado da oral, está assegurada a nota mínima de 16 valores.
Todos os alunos são admitidos a exame.
Bibliografia principal:
- Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations. (3ª edição). Springer.
- Elaydi, S. (2008). Discrete Caos. (2ª edição). Chapman & Hall/CRC.
- Kelley, W.G. & Peterson, A.C. (2000). Difference Equations - An Introduction With Applications. Academic Press.
- Goldberg, S. (1986). Introduction to Difference Equation. New York: Dover.
- Agarwal, R.P. (1992). Difference Equations and Inequalities. New York: Marcel Dekker.
Língua:
Português