Análise de Fourier

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Maria das Neves Vieiro Rebocho
Código:
15618
Ano:
1
Semestre:
S2
Créditos ECTS:
8
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
O objetivo deste curso é dar uma introdução rigorosa às séries de Fourier, transformada de Fourier e transformada de Fourier discreta, incluindo algumas aplicações.
No final deste curso, os alunos deverão:
i. conhecer os aspetos fundamentais da teoria das séries de Fourier, transformadas de Fourier e transformada de Fourier discreta;
ii. ter capacidade para aplicar definições e factos centrais da Análise de Fourier em diferentes contextos, em particular no estudo de equações com derivadas parciais e na Teoria dos Números;
iii. ser capazes de mobilizar conhecimentos de Análise de Fourier para abordar problemas em diferentes áreas da Ciência e Tecnologia.
Conteúdos programáticos:

1. Séries de Fourier
1.1 Equação do calor
1.2 Coeficientes de Fourier e séries de Fourier
1.3 Convergência de séries de Fourier
1.4 Lema de Riemann-Lebesgue
1.5 Desigualdade de Bessel e identidade de Parseval
1.6 Teorema de Fejér
1.7 Aplicações: problema isoperimétrico, equidistribuição de Weyl, equações do calor e das cordas vibrantes

2. Transformada de Fourier
2.1 Transformada de Fourier no espaço de Schwartz
2.2 Convolução
2.3 Inversa
2.4 Transformada de Fourier em L^1 e L^2
2.5 Teorema de Plancherel
2.6 Aplicações às equações com derivadas parciais

3. Transformada de Fourier discreta
3.1 Definição e propriedades
3.2 Convolução
3.3 Inversa
3.4 Transformada rápida de Fourier
3.5 Aplicações à Teoria dos Números (Teorema de Dirichlet)
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
O ensino desta Unidade Curricular assenta na apresentação pelo professor dos conteúdos e respetiva bibliografia, acompanhada pela resolução de exercícios e discussão aberta de problemas relacionados. Periodicamente são apresentados listas de exercícios/problemas aos alunos, que são corrigidos e submetidos a discussão. É proposto um tema a desenvolver por cada aluno que é apresentado em sala de aula.
Bibliografia principal:
Livro recomendado: Kammler, David W. A first course in Fourier analysis, Cambridge Univ. press.
Outras referências:
• Iório, R & Iório, V., Equações Diferenciais Parciais: uma Introdução, Projeto Euclides, IMPA
• Figueiredo, D. G. (2003), Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides, IMPA
• Girão, P.M. (2014), Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais, IST Press
• Osgood, B. G. (2019). Lectures on the Fourier transform and its applications (Vol. 33). American Mathematical Soc..
• Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2011). Fourier analysis: an introduction (Vol. 1). Princeton University Press.
• Vretblad, A. (2003). Fourier analysis and its applications (Vol. 223). Springer Science & Business Media.
Língua:
Português