Análise Funcional

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António Jorge Gomes Bento
Código:
15625
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(45H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:

Nesta unidade curricular são introduzidos os conceitos básicos de teoria dos espaços de Banach e de Hilbert.

No final da unidade curricular os alunos deverão ser capazes de:
- aplicar a teoria básica dos espaços métricos completos;
- identificar os principais espaços normados;
- aplicar a teoria dos espaços normados e dos espaços de Banach;
- identificar os principais espaços com produto interno;
- aplicar a teoria dos espaços com produto interno e dos espaços de Hilbert;
- conhecer e usar os principais teorema de análise funcional: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, aplicação aberta e gráfico fechado;
- aplicar a definição de espetro de um operador;
- conhecer e usar as principais propriedades do espetro de um operador.
Conteúdos programáticos:

1. Revisões de espaços métricos completos

2. Espaços normados e espaços de Banach
2.1 Definição, propriedades elementares e exemplos
2.2 Operadores lineares contínuos
2.3 Funcionais e espaço dual
2.4 Espaços de Banach de dimensão finita
2.5 Compacidade e Lema de Riesz

3. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert
3.1 Definição, propriedades elementares e exemplos
3.2 Complemento ortogonal e projeções ortogonais
3.3 Conjuntos ortonormados
3.4 Funcionais em espaços de Hilbert
3.5 Operador adjunto

4. Teoremas fundamentais da Análise Funcional
4.1 Lema de Zorn
4.2 Teorema de Hahn-Banach
4.3 Operador dual
4.4 Espaços reflexivos
4.5 Teorema de Banach-Steinhaus
4.6 Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado

5. Teoria espetral
5.1 Resolvente e espetro de um operador
5.2 Propriedades do espetro
5.3 Especto de operadores compactos
5.4 Especto de operadores auto-adjuntos
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:

A unidade curricular funciona em aulas teórico-práticas. No início de cada aula o docente faz uma exposição teórica da matéria e de seguida os alunos resolvem exercícios de fichas de trabalho.

A avaliação contínua consiste em dois testes escritos de 10 valores cada um. Se T1 e T2 forem as notas do primeiro e do segundo testes, a classificação final é calculada da seguinte forma:
- se T1+T2 for inferior a 17,5, a classificação final será o arredondamento às unidades de T1+T2;
- se T1+T2 for superior ou igual a 17,5, terá de ser feita uma prova oral; à prova oral é dada uma nota PO entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de max{17, (T1+T2+PO)/2}.
São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.

São admitidos a exame todos os alunos com pelo menos 50% de assiduidade.
Bibliografia principal:

Conway, J. B. (2013). A course in functional analysis. Springer Science & Business Media.
Giles, J. R. (2000). Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge University Press.
Kreyszig, E. (1978). Introductory functional analysis with applications New York: wiley.
Michel, A. N., & Herget, C. J. (2009). Algebra and analysis for engineers and scientists. Springer Science & BusinessMedia.
Rynne, B., & Youngson, M. A. (2011). Análise Funcional Linear. Coleção Ensino da Ciência e Tecnologia. IST Press.
Taylor, A. E., & Lay, D. C. (1986). Introduction to functional analysis. Krieger Publishing
Língua:
Português