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Cálculo III

Código 10351
Ano 2
Semestre S1
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Tipo de ensino Presencial.
Estágios ---
Objetivos Gerais e Resultados de Aprendizagem Nesta unidade pretende-se dotar o aluno com ferramentas fundamentais da matemática para a resolução de problemas das engenharias (e.g., equações diferenciais, transformadas de Laplace, séries de Fourier). No final da unidade curricular o aluno deverá ser capaz de:
-distinguir e resolver os diferentes tipos de equações diferenciais.
-resover problemas de valores iniciais.
-calcular transformadas de Laplace directas e inversas de funções usuais. Resolver equações diferenciais e integrais com transformadas de Laplace.
-determinar séries de Fourier de funções periódicas, assim como determinar séries de Fourier de funções definidas em intervalos limitados.
-usar o método de separação de variáveis de forma a obter soluções de problemas às derivadas parciais.
Conteúdos / Programa 1-Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: equações lineares; equações separáveis; equações exactas e redutíveis a exactas; equações de Bernoulli e equações homogéneas; existência e unicidade das soluções; soluções de equilíbrio estável e instável; prolongamento a intervalos máximos; algumas aplicações; método de Euler.
2- Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Ordem Superior à Primeira: independência linear das soluções; solução geral e solução particular; equações homogéneas com coeficientes constantes; redução da ordem; equações não-homogéneas; o método dos coeficientes indeterminados; o método da variação das constantes; algumas aplicações.
3- Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem: independência linear das soluções; solução geral e solução particular; sistemas lineares homogéneos de coeficientes constantes; retratos de fases e soluções de equilíbrio; sistemas lineares não-homogéneos; o método dos coeficientes indeterminados; o método da variação das constantes; algumas aplicações.
4- Transformadas de Laplace: definição e propriedades elementares; transformada da derivada; função de Heaviside; transformada de Laplace inversa; propriedades do limite; o delta de Dirac; funções periódicas; convolução; aplicação à resolução de equações diferenciais oridinárias; aplicação à resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias; aplicação à resolução de equações integrais.
5- Séries de Fourier: definição; funções pares e ímpares; série de Fourier na forma complexa; teorema da convergência para séries de Fourier; derivação e integração de séries de Fourier; método da separação das variáveis para a resolução de equações às derivadas parciais.
6- Transformadas de Fourier: definição e propriedades elementares; teorema da convergência para transformadas de Fourier; transformada de Fourier de funções generalizadas; teorema da amostragem.
7- Introdução à Análise Complexa: funções analíticas (equações de Cauchy-Riemann); integração complexa (teorema de Cauchy-Goursat, fórmula integral de Cauchy, fórmula integral de Cauchy para as derivadas, princípio do módulo máximo); séries de Taylor e séries de Laurent; resíduos (cálculo de resíduos, teorema dos resíduos; aplicação ao cálculo de integrais impróprios).
Bibliografia / Fontes de Informação An introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, P.P.G. Dyke, Springer.
Operational Mathematics, R. Churchill, McGraw-Hill.
Complex Variables and Applications, R. Churchill and J. Brown, McGraw-Hill.
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W. Boyce and R. DiPrima, Fourth Edition, John Wiley & Sons, 1986.
Teoria Elementar de Equações Diferenciais Ordinárias, F. Pestana da Costa, IST Press, 1998.
Actividades de Ensino-Aprendizagem e Metodologias Pedagógicas As aulas são aulas teóricas e/ou teórico-práticas.
Métodos e Critérios de Avaliação Para o processo Ensino/Aprendizagem, será adotado o seguinte modelo de avaliação periódica:

Dois testes escritos, cada um classificado para 20 valores, a realizar nas seguintes datas: 7/11/2016 e 6/1/2017. Designe-se por C1 e C2 as classificações obtidas no primeiro e segundo teste, respetivamente, e por T a média aritmética das classificações obtidas nestes testes (arredondada à décima).

Uma prova oral, a realizar na semana de 9 a 13 de janeiro de 2017, em hora e local a combinar com o professor. Esta prova oral será classificada para 20 valores. Designe-se por O a classificação obtida na prova oral (arredondada à unidade).

A classificação final é calculada pela fórmula F=0.8xT+0.2xO (arredondada à unidade).
Serão aprovados nesta unidade, com dispensa de exame, os alunos que obtiverem uma classificação final F superior ou igual a 10 valores e, além disso, as classificações C1, C2 e O forem TODAS superiores a 6 valores.

Serão admitidos a exame, e de acordo com as excepções previstas pelas regras gerais de avaliação de conhecimentos, todos os alunos com classificação final F superior ou igual a 6 valores e com 70% de presenças.
Língua Português
Data da última atualização: 2014-08-07
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