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Análise Real III

Código 14767
Ano 2
Semestre S1
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Objectivos de Aprendizagem i) Apreender, relacionar e aplicar conceitos e resultados básicos do cálculo integral;
ii) Formular e resolver problemas relacionados com integrais múltiplos, integrais de linha e integrais de superfície;
iii) Resolver problemas relacionados com integrais de formas diferenciais;
iv) Analisar e compreender demonstrações matemáticas;
v) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática.
Conteúdos programáticos 1. Integrais múltiplos
1.1 Construção do integral e propriedades
1.2 Conjuntos de medida nula e integrabilidade
1.3 Teorema de Fubini
1.4 Mudança de coordenadas
1.5 Aplicação ao cálculo de grandezas físicas

2. Integrais de linha
2.1 Parametrização de curvas
2.2 Integrais de linha de campos escalares e de campos vetoriais
2.3 Teorema de Green

3. Integrais de superfície
3.1 Superfícies diferenciáveis
3.2 Integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais
3.3 Teorema do rotacional de Stokes
3.4 Teorema da divergência de Gauss-Ostrogradsky

4. Integrais de formas diferenciais
4.1 Formas diferenciais de grau 1
4.2 Integral de linha de uma forma diferencial
4.3 Invariância por homotopia
4.4 Formas exatas e formas fechadas. Lema de Poincaré.
4.5 Produto exterior e formas diferenciais de grau 2. Diferencial exterior
4.6 Integral de superfície de uma forma diferencial
4.7 Teorema de Stokes
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação As aulas serão teórico-práticas. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles. Ilustra ainda a teoria com exemplos e aplicações. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios e problemas. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios, problemas e demonstrações matemáticas. A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em três provas escritas MT1 (dia 21 de outubro 2021), MT2 (dia 25 de novembro 2021) e TF (dia 16 de dezembro 2021) (0-20 valores). A classificação final será CF=(0,25*MT1+0,25*MT2+0,5*TF). O estudante poderá ainda realizar um exame final.
Bibliografia principal - Bessa, M. (2020), Análise Real III (Notas do Curso).
- Edwards, H. M. (2013). Advanced calculus: a differential forms approach. Springer Science & Business Media.
- Lages Lima, E. (2015). Curso de Análise, vol. 2. (11ª edição). IMPA.
- Lages Lima, E. (2016). Análise Real, vol. 2. (6ª edição). IMPA.
- Lages Lima, E. (2016), Análise Real, vol. 3. (4ª edição). IMPA.
- Nitecki, Z. (2012), Calculus in 3D, Geometry, Vectors, and Multivariate Calculus.
- Piskounov, N., (1992) Cálculo diferencial e integral, Vol I e Vol II, Lopes da Silva Editora.
- Rudin, W. (1976), Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill.
- Spivak M. (2006), Calculus, third edition, Cambrigde University Press.
Língua Português
Data da última atualização: 2021-10-11
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