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Espaços Métricos e Topológicos

Código 15374
Ano 3
Semestre S2
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Objectivos de Aprendizagem
Nesta unidade curricular pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos, princípios e métodos dos espaços métricos e dos espaços topológicos e os saibam utilizar noutras áreas da Matemática.

No final da unidade curricular os alunos deverão ser capazes de:
- aplicar os conceitos básicos de espaços métricos e de espaços topológicos;
- reconhecer a importância dos espaços métricos completos;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema do ponto fixo de Banach;
- compreender a demonstração e aplicar o teorema de Baire;
- ilustrar as definições com exemplos;
- compreender a demonstração dos resultado básicos sobre separação, compacidade e conexidade de espaços topológicos.
Conteúdos programáticos
0. GENERALIDADES
0.1 Imagem e pré-imagem de um conjunto por uma função
0.2 Famílias de conjuntos

1. ESPAÇOS MÉTRICOS
1.1 Definição e primeiros exemplos
1.2 Espaços normados
1.3 Bolas abertas e bolas fechadas
1.4 Conjuntos abertos e conjuntos fechados
1.5 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
1.6 Funções contínuas
1.7 Sucessões
1.8 Sucessões de Cauchy e espaços métricos completos
1.9 Completamento de um espaço métrico
1.10 Teorema do ponto fixo de Banach
1.11 Teorema de Baire
1.12 Compacidade em espaços métricos
1.13 Conexidade em espaços métricos

2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS
2.1 Definição e exemplos
2.2 Conjuntos fechados
2.3 Bases e sub-bases
2.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado
2.5 Funções contínuas
2.6 Subespaços
2.7 Espaços produto
2.8 Axiomas de separação
2.9 Compacidade
2.10 Conexidade
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação
A unidade curricular funciona em aulas teórico-práticas. No início de cada aula o docente faz uma exposição teórica da matéria e de seguida os alunos resolvem exercícios de fichas de trabalho fornecidas pelo docente.

A avaliação contínua consiste em dois testes escritos de 10 valores cada um. Se T1 e T2 forem as notas do primeiro e do segundo testes, respectivamente, a classificação final é calculada da seguinte forma:
a) se T1+T2 for inferior a 17,5, a classificação final será o arredondamento às unidades de T1+T2;
b) se T1+T2 for superior ou igual a 17,5, terá de ser feita uma prova oral; à prova oral é dada uma nota PO entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de max{17, (T1+T2+PO)/2}.

São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.

A avaliação por exame final consiste num exame cotado para 20 valores, sendo aprovados os alunos com nota igual ou superior a 10 valores.
Bibliografia principal
– Buskes, G., & van Rooij, A. (2012). Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer.
– Conway, J. B. (2014). A Course in Point Set Topology. Springer.
– Croom, F. H. (2016). Principles of Topology. Dover Publications.
– Engelking, R. (1989). General Topology. Heldermann Verlag.
– Giles, J. R. (1987). Introduction to the Analysis of Metric Spaces. Cambridge University Press.
– Lima, E. L. (2017). Espaços Métricos. Projecto Euclides. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 5.ª edição
– Lima, E. L. (2014). Elementos de Topologia Geral. Textos Universitários. Sociedade Brasileira de Matemática
– Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice Hall.
– Willard, S. (2013). General Topology. Dover Publications.
Língua Português
Data da última atualização: 2023-03-09
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