| Código |
15619
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| Ano |
1
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| Semestre |
S2
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| Créditos ECTS |
8
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| Carga Horária |
TP(60H)
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| Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
Pretende-se que o estudante saiba:
1. Parametrizar curvas regulares no plano e no espaço e determinar a sua curvatura e torsão;
2. Classificar curvas através da sua curvatura e torsão;
3. Reconhecer e parametrizar superfícies regulares no espaço e determinar as suas curvaturas usando cartas;
4. Determinar as geodésicas de uma superfícies regular;
5. Classificar algumas superfícies especiais;
6. Estudo de superfícies mínimas como pontos críticos da função área.
7. Alargar os conceitos apreendidos para superfícies no espaço a variedades abstractas de dimensão 2.
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Conteúdos programáticos |
Cap. 1 Curvas no Plano: Curva parametrizada; Reparametrização por comprimento de arco; Curvatura sinalizada. Equações de Frenet-Serret; Exemplos; Teorema Fundamental
Cap. 2 Curvas no Espaço: Exemplos; Curvatura e torsão; Triedro e eq. de Frenet-Serret; Teorema Fundamental
Cap 3 Superfícies: Superfícies. Exemplos; Aplicação de Gauss; Aplicações sobre superfície e vectores tangentes; Superfície orientável; Primeira Forma Fundamental; Aplicação de Weingarten; Curvatura normal, curvatura média e curvatura de Gauss; Segunda Forma Fundamental; Superfícies regradas e de revolução; Superfície mínima; Teorema Egregium de Gauss; Curvaturas geodésica e normal de uma curva; Geodésicas; Pontos umbílicos; Eq. de Mainardi-Codazzi;
Cap 4 Superfícies Mínimas: Deformações Isométricas; Superfícies mínimas conjugadas; Exemplos
Cap 5 Quaterniões: Álgebra; Rotação
Cap 6 Variedades Diferenciáveis: Exemplos; Derivada covariante; Métrica riemanniana; Geodésicas e aplicação exponencial; Teorema de Gauss-Bonnet
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
Durante o Ensino-Aprendizagem serão realizadas duas frequências (F1 e F2) e dois trabalhos/exercícios para casa (T1 e T2), todos avaliados para 20 valores.
A classificação final no Ensino-Aprendizagem será obtida pela fórmula EA=0.4*(F1+F2)+.01*(T1+T2).
O aluno tem de frequentar pelo menos 50% das aulas para ser Admitido a Exame.
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Bibliografia principal |
1. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica 3rd Edition, Alfred Gray, Elsa Abbena and Simon Salamon, Studies in Advanced Mathematics, 2006.
2. Elementary Differential Geometry, Andrew Pressley, Second Edition, Springer, 2012.
3. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Manfredo do Carmo, Sociedade Brasileira de matemática, 6º edição, 2014.
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| Língua |
Português
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