| Código |
15626
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| Ano |
1
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| Semestre |
S1
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| Créditos ECTS |
6
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| Carga Horária |
TP(45H)
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| Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
Ao completar esta unidade curricular, o estudante deve:
1. Dominar, relacionar e saber aplicar conceitos, resultados fundamentais e técnicas da Teoria de Galois e da Álgebra Comutativa, utilizados em diversos domínios da Matemática e suas Aplicações, nomeadamente: Geometria Algébrica, Teoria de Números, Teoria de Códigos e Criptografia;
2. Utilizar adequadamente a linguagem matemática na comunicação escrita e oral, apresentando com correção, segurança e clareza os tópicos lecionados, os exercícios resolvidos e os trabalhos propostos.
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Conteúdos programáticos |
1. Teoria de Galois
1.1. O Grupo de Galois
1.2. Extensões normais e extensões separáveis
1.3. A Correspondência de Galois
1.4. Resolução de equações algébricas por meio de radicais
2. Anéis Comutativos e Ideais
2.1. Definições e propriedades elementares
2.2. Ideais primos e ideais maximais
2.3. O radical Nil e o radical de Jacobson
2.4. Anéis noetherianos e anéis artinianos
2.5. Teorema de estrutura para anéis artinianos
2.6. Teorema dos zeros de Hilbert
3. Módulos
3.1. Módulos e homomorfismos de módulos
3.2. Sequências exatas
3.3. Submódulos e módulos quociente
3.4. Somas diretas e produtos diretos
3.5. Independência linear
3.6. Produtos tensoriais
3.7. Módulos sobre domínios de integridade
3.8. Módulos finitamente gerados
3.9. Aplicações: diagonalização de matrizes com entradas num domínio de ideais principais; classificação de grupos abelianos de tipo finito; forma canónica de Jordan.
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
As aulas serão teórico-práticas, sendo:
1. A exposição da matéria feita a partir das principais referências bibliográficas sobre Teoria de Galois e Álgebra Comutativa;
2. Sugerida a leitura complementar de artigos ou textos sobre alguns tópicos do programa;
3. Estimulada a resolução de exercícios e a discussão coletiva das técnicas ou métodos de resolução usados;
4. Proposta a elaboração de um trabalho sobre um artigo científico relacionado com o programa e respetiva apresentação oral.
A avaliação pode ser efetuada ao longo do processo de ensino aprendizagem e consiste na realização de um trabalho, com peso 20%, e dois testes, com peso 80%.
Em alternativa o estudante pode ser avaliado apenas com os testes com peso 100%.
Adicionalmente, o estudante pode ser avaliado em exame, com peso100%.
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Bibliografia principal |
Stewart, I. (2015). Galois theory. Fourth edition. CRC Press, Boca Raton, FL.
Artin, E. (1998). Galois Theory, Dover Publications, Mineola, NY.
Tignol, J. P. (2016). Galois theory of algebraic equations. Second edition. World Scientific Publishing Co Pte Ltd.
Atiyah, M. F., MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading,Mass.-London-Don Mills.
Zariski, O., Samuel, P. (1975). Commutative Algebra. Springer Science & Business Media.
Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics,150. Springer-Verlag, New York.
Kaplansky, I. (1970). Commutative Rings. Boston.
Kemper, G. (2010). A Course in Commutative Algebra. Springer Science & Business Media.
Matsumura, H. (1980).Commutative Algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56.Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass.
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| Língua |
Português
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