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Cálculo II

Código 9090
Ano 1
Semestre S2
Créditos ECTS 6
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Tipo de ensino Presencial.
Estágios Não aplicável.
Objectivos de Aprendizagem Familiarizar os estudantes com as principais ferramentas do cálculo diferencial e integral nos espaços R^n.
Aplicação das ferramentas do cálculo nos espaços R^n na resolução de problemas do dia-a-dia.
O estudante deve ser capaz de analisar funções vetoriais e funções escalares. Nomeadamente
Calcular limites e estudar a continuidade
Calcular derivadas parciais e estudar a diferenciabilidade
Conhecer as propriedades do gradiente, sua relação com curvas/superfícies de nível, derivadas direcionais e aproximação linear
Aplicar a regra da cadeia e o teorema da função implícita
Formalizar e resolver problemas de otimização
Calcular integrais múltiplos, com o teorema de Fubini, esboçar regiões de integração, inverter a ordem de integração, identificar o sistema de coordenadas a utilizar e efetuar a mudança de variável
Aplicar os conceitos anteriores a problemas do dia-a-dia.
Resolver equações diferenciais elementares
Aplicar equações elementares em modelos matemáticos.
Conteúdos programáticos 1. Funções de Rn em Rm
1.1. O espaço Rn. Breves noções topológicas em Rn
1.2. Vetores. Norma. Produto escalar. Vetor velocidade
1.3. Funções reais de n variáveis reais e funções vectoriais
1.4. Limites e continuidade
2. Cálculo Diferencial em Rn
2.1. Derivadas Parciais. Derivadas direcionais. Gradiente
2.2. Plano Tangente
2.3. Diferenciabilidade
2.4. Derivada da função composta
2.5. Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
2.6. Teorema da função implícita
2.7. Extremos locais e absolutos
2.8. Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
3. Cálculo Integral em Rn
3.1. Integral de Riemann duplo e triplo: definição e exemplos
3.2. Propriedades das funções integráveis
3.3. Mudança de coordenadas
3.4. Aplicações
4. Equações Diferenciais Ordinárias
Definição, exemplos e aplicações. Separação de variáveis. Equações homogéneas e exatas.
Equações lineares, método do fator integrante. Equações de Bernoulli, Ricatti e Clairaut. Métodos numéricos. Método de Euler.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação A metodologia de ensino baseia-se em aulas teórico-práticas. A parte teórica decorre com exposição do professor, acompanhada de exemplos, e com o diálogo com os alunos, a quem são fornecidas notas escritas pelo professor. A parte prática das aulas assenta na resolução de exercícios, tanto de forma acompanhada como autónoma. A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em duas provas escritas. O estudante poderá ainda realizar um exame final.
Bibliografia principal [1] Cálculo, vol. II, James Stewart, 2006, Pioneira Thomson Learning
[2] Cálculo, vol. 2, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, 8ª Edição, 2007, Bookman
[3] Análise Real, vol.2 - Funções de n Variáveis, Elon Lages Lima, Coleção Matemática Universitária, IMPA (Brasil), 2007.
[4] Análise Real, vol.3 - Análise Vetorial, Elon Lages Lima, Coleção Matemática Universitária, IMPA (Brasil), 2007.
[5] Vector Calculus, J. Marsden, A. Tromba, 2003, Freeman and Company.
[6] Cálculo, vol. II, T. Apostol,1994, Reverté
[7] Cálculo II, Mário Bessa, 2021.
Língua Português
Data da última atualização: 2021-06-13
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