| Código |
14792
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| Ano |
3
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| Semestre |
S1
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| Créditos ECTS |
6
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| Carga Horária |
TP(60H)
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| Área Científica |
Matemática
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Objectivos de Aprendizagem |
Nesta unidade curricular são introduzidos os conceitos básicos de teoria da medida e integração e dos espaços de Banach e de Hilbert.
No final da unidade curricular os alunos deverão ser capazes de:
- definir e usar espaços de medida;
- averiguar se uma função é mensurável;
- calcular o integral de Lebesgue e aplicar as suas principais propriedades;
- usar os espaços L^p;
- identificar os principais espaços normados;
- aplicar a teoria dos espaços normados e dos espaços de Banach;
- identificar os principais espaços com produto interno;
- aplicar a teoria dos espaços com produto interno e dos espaços de Hilbert;
- conhecer e usar os principais teorema de análise funcional: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, aplicação aberta e gráfico fechado.
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Conteúdos programáticos |
1. Medida e Integração
1.1 Semi-álgebras, álgebras e s-álgebras
1.2 Medidas
1.3 Teorema de extensão de Caratheodory
1.4 Funções mensuráveis
1.5 Integral de Lebesgue
1.6 Teoremas da convergência monótona e da convergência dominada
1.7 Espaços L^p
1.8 Medida produto e teorema de Fubini
2. Espaços normados e espaços de Banach
2.1 Definição, propriedades elementares e exemplos
2.2 Operadores lineares contínuos
2.3 Funcionais e espaço dual
2.4 Espaços de Banach de dimensão finita
2.5 Compacidade e Lema de Riesz
3. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert
3.1 Definição, propriedades elementares e exemplos
3.2 Complemento ortogonal e projeções ortogonais
3.3 Conjuntos ortonormados
3.4 Funcionais em espaços de Hilbert
3.5 Operador adjunto
4. Teoremas Fundamentais da Análise Funcional
4.1 Lema de Zorn
4.2 Teorema de Hahn-Banach
4.3 Operador dual
4.4 Espaços reflexivos
4.5 Teorema de Banach-Steinhaus
4.6 Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
A unidade curricular funciona em aulas teórico-práticas. No início de cada aula o docente faz uma exposição teórica da matéria e de seguida os alunos resolvem exercícios de fichas de trabalho fornecidas pelo docente.
A avaliação contínua consiste em dois testes escritos de 10 valores cada um. Se T1 e T2 forem as notas do primeiro e do segundo testes, respectivamente, a classificação final é calculada da seguinte forma:
a) se T1+T2 for inferior a 16,5, a classificação final será o arredondamento às unidades de T1+T2;
b) se T1+T2 for superior ou igual a 16,5, terá de ser feita uma prova oral; à prova oral é dada uma nota PO entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de max{16, (T1+T2+PO)/2}.
São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.
A avaliação por exame final consiste num exame cotado para 20 valores, sendo aprovados os alunos com nota igual ou superior a 10 valores.
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Bibliografia principal |
Bollobás, B. (1999). Linear Analysis: An Introductory Course. Cambridge University Press. 2th edition
Conway, J. B. (2013). A course in functional analysis. Springer Science & Business Media.
de Castro Jr, A. A. (2015). Curso de teoria da medida. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 3.ª edição
Fernandez, P. J. (2015). Medida e integração. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 2.ª edição
Giles, J. R., & Giles, J. R.(2000). Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge University Press.
Kreyszig, E. (1978). Introductory functional analysis with applications New York: Wiley.
Michel, A. N., & Herget, C. J. (2009). Algebra and analysis for engineers and scientists. Springer Science & Business Media.
Rynne, B., & Youngson, M. A. (2011). Análise Funcional Linear. Coleção Ensino da Ciência e Tecnologia. IST Press.
Taylor, A. E., & Lay, D. C. (1986). Introduction to functional analysis. Krieger Publishing
Oliveira, César R. (2015). Introdução à Análise Funcional. IMPA
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| Língua |
Português
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