| Código |
13318
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| Ano |
1
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| Semestre |
S1
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| Créditos ECTS |
10
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| Carga Horária |
TP(30H)
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| Área Científica |
Física e Matemática
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Tipo de ensino |
Presencial e tutorial
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Estágios |
Não aplicável
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Objectivos de Aprendizagem |
O objetivo geral desta UC é dotar os alunos de conhecimentos aprofundados sobre equações diferenciais e
sistemas dinâmicos. A abordagem seguida visa preparar os estudantes para desenvolver trabalhos de
investigação em temas da física teórica e da física matemática moderna.
No final desta UC, o aluno deverá ser capaz de:
- Usar os conhecimentos adquiridos sobre equações diferenciais e sistemas dinâmicos no estudo de problemas
oriundos da física teórica e da física matemática;
- Desenvolver pensamento autónomo e original acerca dos temas estudados.
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Conteúdos programáticos |
General Theory
Existence, uniqueness, and regularity of solutions
Extension of solutions and maximal intervals
Dependence on initial conditions and parameters
Autonomous equations: phase space and flow
Tubular flow theorem and Poincaré's application
Linear Equations (LE)
Matrix exponentials and autonomous LE flow
Conjugations and classification of autonomous linear fields
Periodic LE and Floquet theory
Non-autonomous LE: fundamental solution, Liouville's theorem
Stability and Hyperbolicity
Examples of hyperbolic sets
Hartman-Grobman theorem
Invariant manifolds, Hadamard-Perron theorem
Continuation of a hyperbolic set
Stable/unstable manifold for hyperbolic sets
Stability of hyperbolic sets
Shadowing lemma
Structural Stability
Anosov flows and Axiom A
Spectral decomposition of Smale
O-explosion cycles
O-stability
Examples beyond hyperbolicity - non-uniform hyperbolicity
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Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação |
As aulas serão teórico-práticas e tutoriais. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles. Ilustra ainda a teoria com exemplos e aplicações. O docente indica textos da bibliografia para o estudante ir aprofundando os seus conhecimentos. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios e problemas. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios, problemas e demonstrações matemáticas. A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em dois momentos: Realização de um trabalho (T) e apresentação de um seminário (S). A classificação final será CF=(0,5*T+0,5*S). O estudante poderá ainda realizar um exame final.
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Bibliografia principal |
Carmen Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer-Verlag,1999.
Luís Barreira e Cláudia Valls, Equações Diferenciais: Teoria Qualitativa, IST Press, 2010.
Claus I. Doering e Artur O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2005
Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2006
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| Língua |
Português
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