Teoria Quântica, Análise Funcional e Álgebra de Operadores

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José Manuel Pé-Curto Velhinho
Código:
13322
Ano:
1
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
10
Carga Horária:
OT(30H)/TP(30H)
Área Científica:
Física e Matemática
Tipo de ensino:
Presencial e tutorial
Estágios:
Não aplicável
Objectivos de Aprendizagem:
Esta UC faz uma abordagem original à Teoria Quântica (TQ), que se integra bem no caráter distintivo do
curso. Serve como primeira abordagem à TQ para alunos com formação de base em Matemática, e como
complemento matemático para alunos com formação de base em Física. A noção integradora da UC é a análise
espetral de operadores autoadjuntos.
A abordagem visa preparar os alunos para desenvolver trabalhos de investigação em temas da físicamatemática
moderna diretamente ligados a sistemas quânticos.
No final desta UC, o aluno deverá:
- conhecer os fundamentos da teoria das álgebras-C* e das álgebras de von Neumann;
- ter conhecimentos avançados sobre decomposição espetral de operadores autoadjuntos e aplicações;
- perceber o significado do teorema de Gelfand-Naimark e saber relacioná-lo com o teorema espetral;
- saber os fundamentos da TQ, e da computação e informação quânticas;
- ficar apto a abordar problemas, aprofundar os conhecimentos e explorar a literatura de forma independente.
Conteúdos programáticos:
1. Introdução às álgebras-C*
Álgebras de Banach e álgebras-C*
Álgebras-C* comutativas. Caraterização de Gelfand-Naimark
Estados e representações das álgebras-C*
Representações cíclicas. Construção GNS
Álgebras de von Neumann
Estados KMS
2. Teorema espetral para operadores autoadjuntos limitados
Operadores limitados num espaço de Hilbert. Operadores compactos
Operadores autoadjuntos
Cálculo funcional contínuo e mensurável
Medidas espetrais
3. Operadores ilimitados: teorema espetral
Operadores ilimitados. Domínio. Operador fechado. Operador adjunto
Operadores simétricos e autoadjuntos
Teorema espetral para operadores autoadjuntos
Teorema de Stone
4. Fundamentos de teoria quântica
Estrutura e postulados
Álgebra de Heisenberg, grupo de Heisenberg e álgebra de Weyl
Oscilador harmónico: abordagem algébrica e representação de Fock
Gás de bosões livres
5. Computação e informação quânticas
Estados entrelaçados
Bits e qubits
Portas e algoritmos quânticos
Informação quântica: entropia de von Neumann
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
Aulas teóricas e de resolução de exercícios
Bibliografia principal:
MS Birman, MZ Solomjak 1987 Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in Hilbert Space, D. Reidel
O Bratteli, DW Robinson 2003 Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1& 2 2ed, Springer
C Cohen-Tannoudji, B Diu, F Laloë 1977 Quantum Mechanics, Wiley
JB Conway 1990 A Course in Functional Analysis 2ed, Springer
PAM Dirac 1958 The Principles of Quantum Mechanics 4ed, Oxford Univ.Press
BC Hall 2013 Quantum Theory for Mathematicians, Springer
RV Kadison, JR Ringrose 1983 Fundamentals of the Theory of Operator Algebras 1, Academic Press
M Le Bellac 2006 Quantum Information and Quantum Computation, Cambridge Univ.Press
ND Mermin 2007 Quantum Computer Science, Cambridge Univ.Press
MA Nielsen, IL Chuang 2000 Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge Univ.Press
M Reed, B Simon 1980 Methods of Modern Mathematical Physics I, Academic Press
W Rudin 1991 Functional Analysis 2ed, McGraw-Hill
L Susskind, A Friedman 2014 Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books
Língua:
Português
Esta informação promove os seguintes Objetivos de Desenvolvimento Sustentável da ONU:
Garantir o acesso à educação inclusiva, de qualidade e equitativa, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos
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Data da última atualização: 2022-02-03