Equações às Diferenças e Aplicações

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César Augusto Teixeira Marques da Silva
Código:
14793
Ano:
3
Semestre:
S1
Créditos ECTS:
6
Carga Horária:
TP(60H)
Área Científica:
Matemática
Objectivos de Aprendizagem:
(i) Apreender alguns conceitos e resultados fundamentais da teoria das equações às diferenças;
(ii) Utilizar conceitos e resultados da teoria das equações às diferenças para analisar uma determinada equação ou sistema de equações às diferenças;
(iii) Reconhecer alguns exemplos de aplicação das equações às diferenças na modelação de fenómenos das ciências exatas e sociais.
(iv) Analisar e compreender demonstrações matemáticas;
(v) Comunicar, escrita e oralmente, utilizando linguagem matemática;
Conteúdos programáticos:
1. Equações às diferenças de 1ª ordem: Soluções, órbitas e equações lineares; Estabilidade de pontos de equilíbrio e de órbitas periódicas; Bacia de atração e estabilidade global;
Duplicação de período, bifurcação e caos.
2. Equações às diferenças de ordem superior: Cálculo de diferenças; Equações escalares lineares de ordem $n$; Método dos coeficientes indeterminados; Comportamento limite das soluções;
Teoremas de Poincaré e Perron.
3. Sistemas de equações às diferenças lineares: Algoritmo de Putzer; Matriz fundamental e solução geral; Forma canónica de Jordan; Sistemas lineares periódicos: teoria de Floquet.
4. Estabilidade de sistemas de equações às diferenças: Noções de estabilidade; Estabilidade de sistemas lineares; Estabilidade de sistemas periódicos lineares; Método direto de Lyapunov; Estabilidade através da linearização.
5. Transformada Z: Transformada Z; Transformada Z inversa; Sistemas de Volterra.
Metodologias de Ensino e Critérios de Avaliação:
As aulas serão teórico-práticas. O docente apresenta os conceitos, enuncia os resultados, demonstrando muitos deles e discute exemplos de aplicação. O estudante é incentivado a participar nas aulas, interagindo com o professor e por vezes resolvendo exercícios. É ainda incentivado o trabalho autónomo, consistindo este maioritariamente na realização de exercícios, muitos dos quais baseados em equações ou sistemas de equações que surgem nas aplicações e que complementam os que forem apresentados nas aulas. Na interação com o professor será promovido o aperfeiçoamento da utilização, escrita e oral, da linguagem matemática.
A avaliação realizada ao longo do período de ensino-aprendizagem consistirá em duas provas escritas, cada uma cotada para 10 valores. A classificação final será a soma das classificações das duas provas escritas. O estudante poderá ainda realizar um exame final cotado para 20 valores.
Bibliografia principal:
- Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations. (3ª edição). Springer.
- Elaydi, S. (2008). Discrete Caos. (2ª edição). Chapman & Hall/CRC.
- Kelley, W.G. & Peterson, A.C. (2000). Difference Equations - An Introduction With Applications. Academic Press.
- Goldberg, S. (1986). Introduction to Difference Equation. New York: Dover.
- Agarwal, R.P. (1992). Difference Equations and Inequalities. New York: Marcel Dekker.
Língua:
Português
Esta informação promove os seguintes Objetivos de Desenvolvimento Sustentável da ONU:
Garantir o acesso à educação inclusiva, de qualidade e equitativa, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos