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Matemática e Aplicações
Medida e Sistemas Ergódicos

Medida e Sistemas Ergódicos

Código	15614
Ano	1
Semestre	S1
Créditos ECTS	8
Carga Horária	TP(60H)
Área Científica	Matemática
Objectivos de Aprendizagem	Nesta Unidade Curricular faz-se uma introdução à Teoria da Medida e Integração e desenvolve-se o estudo de Sistemas Dinâmicos caóticos através de medidas invariantes, propriedades de recorrência e entropia. No final da Unidade Curricular os alunos deverão: i. ser capazes de definir espaços de medida e reconhecer algumas das suas principais características; ii. saber os fundamentos da integração de Lebesgue e compreender os principais resultados sobre espaços Lp; iii. saber identificar medida(s) invariante(s) de um sistema dinâmico e usá-la(s) como ferramenta de análise; iv. conhecer os principais teoremas ergódicos e seus corolários; v. ser capazes de interpretar e desenvolver o conceito de entropia de um sistema dinâmico; vi. conhecer e relacionar diferentes modelos básicos de sistemas dinâmicos discretos; vii. recorrer à Teoria Ergódica para formular e resolver problemas em diferentes áreas de Matemática e da Ciência.
Conteúdos programáticos	1. Medida 1.1 Espaços mensuráveis. 1.2 Espaços de medida 1.3 Medida de Lebesgue 2. Integração 2.1 Funções mensuráveis 2.2 Integral de Lebesgue 2.3 O integral de Riemann e o integral de Lebesgue 2.4 Espaços Lp 2.5. Teorema de Radon-Nikodym 2.6 Teorema de Fubini 3 Medidas invariantes por uma dinâmica 3.1 Sistemas dinâmicos discretos 3.2 Medidas invariantes 3.3 Exemplos 3.4 Teorema de Recorrência de Poincaré e Teorema de Kac 3.5 Transformações induzidas 3.6 Existência de medidas invariantes 4. Sistemas ergódicos 4.1 Medidas ergódicas 4.2 Teoremas ergódicos e aplicações 4.3 Teoremas de recorrência múltipla e aplicações 4.4 Sistemas misturadores 5. Entropia 5.1 Entropia de uma partição 5.2 Entropia de um sistema dinâmico 5.3 Teorema de Kolmogorov-Sinai e Teorema de Shannon-McMillan-Breiman 5.4 Aplicações
Bibliografia principal	- Dajani, K & Kall, C. (2021). A first course in Ergodic Theory. CRC Press, Taylor and Francis. - Mañé, R: (1983). Introdução à Teoria Ergódica. IMPA. - Parthasarathy, K. R. (2005). Introduction to Probability and Measure (Texts and Readings in Mathematics Book 33). Hindustan Book Agency. - Silva, C. E. (2008). Invitation to ergodic the0ory. Providence (R.I.): American mathematical Society. - Viana, M \& Oliveira, K. (2019). Fundamentos da Teoria Ergódica. SBM. - Vilarinho, H. (2022), Notas para as aulas de Medida e Sistemas Ergódicos, UBI. - Walters, P. (2000). An Introduction to Ergodic Theory (Graduate Texts in Mathematics, 79) (Softcover Repri ed.). Springer.
Língua	Português

Regente


	Helder Vilarinho

Curso

Matemática e Aplicações

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