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Geometria Diferencial

Código 15619
Ano 1
Semestre S2
Créditos ECTS 8
Carga Horária TP(60H)
Área Científica Matemática
Objectivos de Aprendizagem Pretende-se que o estudante saiba:
1. Parametrizar curvas regulares no plano e no espaço e determinar a sua curvatura e torsão;
2. Classificar curvas através da sua curvatura e torsão;
3. Reconhecer e parametrizar superfícies regulares no espaço e determinar as suas curvaturas usando cartas;
4. Determinar as geodésicas de uma superfícies regular;
5. Classificar algumas superfícies especiais;
6. Estudo de superfícies mínimas como pontos críticos da função área.
7. Alargar os conceitos apreendidos para superfícies no espaço a variedades abstractas de dimensão 2.
Conteúdos programáticos Cap. 1 Curvas no Plano: Curva parametrizada; Reparametrização por comprimento de arco; Curvatura sinalizada. Equações de Frenet-Serret; Exemplos; Teorema Fundamental
Cap. 2 Curvas no Espaço: Exemplos; Curvatura e torsão; Triedro e eq. de Frenet-Serret; Teorema Fundamental
Cap 3 Superfícies: Superfícies. Exemplos; Aplicação de Gauss; Aplicações sobre superfície e vectores tangentes; Superfície orientável; Primeira Forma Fundamental; Aplicação de Weingarten; Curvatura normal, curvatura média e curvatura de Gauss; Segunda Forma Fundamental; Superfícies regradas e de revolução; Superfície mínima; Teorema Egregium de Gauss; Curvaturas geodésica e normal de uma curva; Geodésicas; Pontos umbílicos; Eq. de Mainardi-Codazzi;
Cap 4 Superfícies Mínimas: Deformações Isométricas; Superfícies mínimas conjugadas; Exemplos
Cap 5 Quaterniões: Álgebra; Rotação
Cap 6 Variedades Diferenciáveis: Exemplos; Derivada covariante; Métrica riemanniana; Geodésicas e aplicação exponencial; Teorema de Gauss-Bonnet
Bibliografia principal 1. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica 3rd Edition, Alfred Gray, Elsa Abbena and Simon Salamon, Studies in Advanced Mathematics, 2006.
2. Elementary Differential Geometry, Andrew Pressley, Second Edition, Springer, 2012.
3. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Manfredo do Carmo, Sociedade Brasileira de matemática, 6º edição, 2014.
Língua Português

Regente

Não tem Fotografia.
 Nuno Miguel Ferreira Correia

Curso

Matemática e Aplicações
Data da última atualização: 2025-03-13
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